函数极限

从领域到ε-δ语言, 一张图全搞懂

数列极限实际用得少，极限的主力是函数极限。本节梳理自变量趋于有限数、趋于无穷两大情形，夯实理解后续微积分的基石。

₁ 邻域与去心邻域

δ 邻域：以 x₀ 为中心、δ 为半径的开区间：(x₀−δ, x₀+δ)，记作 U(x₀, δ)。

去心邻域：去掉中心 x₀ 的邻域，即 (x₀−δ, x₀) ∪ (x₀, x₀+δ)，记作 Ů(x₀, δ)。

🔺 特点：在去心邻域内，x ≠ x₀。这对极限定义至关重要。

₂ 情形一：x → x₀ 的极限

直觉解释：当 x 无限接近 x₀（但取不到 x₀）时，函数值 f(x) 无限接近常数 A。

∀ε>0，∃δ>0，
当 0<|x−x₀|<δ 时，有 |f(x)−A|<ε

即：随便你给一个正数 ε（表示有多接近），我都能找到 x₀ 的一个去心邻域，使其中所有点的函数值都落在区间 (A−ε, A+ε) 内。

曲线 y=f(x) 当 x→x₀ 时趋近于 A

A+ε ───── ╌╌╌╌╌╌╌╌ e
A ───── ───────── c
A−ε ───── ╌╌╌╌╌╌╌╌ d

x₀−δ x₀ x₀+δ

※ ε 控制高度方向误差，δ 控制横向探测范围

⚠️ 关键理解

1. x → x₀ 时 x 永远不等于 x₀
2. 所以只需在去心邻域内有定义即可
3. f(x₀) 处有没有定义不重要, 不影响极限

₃ 左极限与右极限

左极限：x→x₀⁻，从左侧逼近，f(x₀⁻) = A
右极限：x→x₀⁺，从右侧逼近，f(x₀⁺) = B

结论（充要条件）
当 x→x₀ 时极限存在 ⟺ 左右极限都存在且相等

✦ 常用于分段函数的分界点讨论

📐 经典例题：讨论 f(x) 在 x=0 的极限

f(x)=

x−1 (x<0)
0 (x=0)
x+1 (x>0)

x→0⁺ 时 f(x)=x+1 → 1；x→0⁻ 时 f(x)=x−1 → −1

左右极限不相等 ⇒ 极限不存在

₄ 情形二：x → ∞ 时的极限

当 |x| 无限增大，函数值 f(x) 无限趋近常数 L，就称 L 为 x→∞ 时的极限。

∀ε>0，∃X>0，
当 |x|>X 时，有 |f(x)−L|<ε

X 也可看作横轴方向的“范围边界”。若 x→+∞ 看右侧；x→−∞ 看左侧。
常见：1/x 当 x→∞ 时极限=0。

x→+∞ 1/x → 0
x→−∞ 1/x → 0

水平渐进线：当 x→∞ 时函数值无限逼近水平直线 y=L，则称 y=L 为水平渐近线。例：y=1/x 的水平渐近线是 y=0。

₅ 用 ε-δ 语言证极限

例1：证明 lim(x→1) (2x−1) = 1

∀ε>0, 找 δ>0：|2x−1−1| = 2|x−1| < ε
取 δ = ε/2 即可。

例2：证明 lim(x→∞) 1/x = 0

要找大X：|1/x−0| = 1/|x| < ε ⟺ |x| > 1/ε，故取 X=1/ε。

※ 数列极限需取整到第 N 项（正整数），函数极限中 x 连续, 无需取整。

✏️ “函数极限中 x 可以取小数/实数，不像数列只走整数项；所以不用取整，直接找 δ 或 X 就可以。”

💬 老师金句

“你说咱俩有多好？要多好就有多好”
—— ε 可以任意小, 极限就越贴近

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