勒贝格积分

一句话革命：把刀口转90°

黎曼竖着切，勒贝格横着切。
切值域就需要“测度”，换来的是更广阔的适用面。

导读 · 本集内核

当黎曼积分在“处处剧烈跳动”的函数面前碰壁，勒贝格用一个看似简单到出奇的想法，重新定义了积分——不再切定义域，而是转90°切值域。上一集的测度，在这里成为真正的刀刃。

01 · 黎曼积分的路先记住旧办法

黎曼积分的做法：将定义域竖切成细条。每一小条的面积近似看成“高 × 宽”，所有小条累加，再取极限。

这个办法面对光滑曲线很出色。

∫ ≈ lim Σ f(x)·Δx

定义域沿横向切片，Δx 越切越细

但一条名叫狄利克雷的函数粉碎了这套方案：

f(x) = 1（x 为有理数）
f(x) = 0（x 为无理数）

无论竖条切得多细，每个小区间里都同时混着有理数与无理数：

这样的函数被黎曼积分判了死刑：不可积。

02 · 勒贝格的转身不切 x 轴，切 y 轴

勒贝格的突破口是——把刀口旋转90°，不再切定义域，该去切值域。

不关心 x 方向切成多少根细条，只关心“函数值落在某一层里”的那些 x，把它们凑在一起测量有多长。

这个“长度”，正是上一集建立的测度工具。

黎曼切法

定义域方向竖切成小条

Δx

勒贝格切法

值域方向横切成薄层

Δt

每一层的贡献 = 层高 × 这一层的测度。全部加起来，再让分层无限变细，极限就是勒贝格积分。

03 · 让它严格起来阶梯函数逼近

勒贝格的做法，可以理解成是用一排台阶从下方慢慢顶上：

至于取极限这一步，已有定理替你把关。

这套构造把积分的适用范围延展到了近乎“失去理性”的函数。

04 · 狄利克雷函数两个时代的判决

同一个函数，黎曼和勒贝格的命运截然不同。

黎曼判决

不可积

每根竖条都混有有理数与无理数，上、下和永远无法重合。

勒贝格判决

∫ = 0

有理数集只占可数个点，测度为0；无理数集占据全部“长度”。

∫ f = 1 · (有理数集的测度) + 0 · (无理数集的测度) = 1×0 + 0×1 = 0 一个被旧方法判死刑的函数，在新框架里给出了干净的答案。

05 · 真正的威力收敛三兄弟

勒贝格积分真正的超能力，藏在三个收敛定理里：

它们共同保证了同一件事：只要函数列不太野，“先取极限再积分 = 先积分再取极限”。

这不是繁琐的细节，而是现代分析、概率论每天都在使用的自由。黎曼积分恰恰给不了这种自由。

黎曼竖着切，勒贝格横着切。
小刀一转，测度登场，
换来的是更广的适用面、以及换序的自由。

—— 积分，从此脱胎换骨

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下一集 · 希尔伯特空间 一个既是向量空间，又能谈长度与正交的无穷维世界。

勒贝格积分｜数学的100个概念