导数基础函数图像笔记

1三大记忆法

①

看定义域 — 含 ln x 则 x > 0；有分母则分母 ≠ 0

②

看特殊值 — 含 ln x，代入 x = 1 得 0；含 x 且在定义域内，代入 x = 0 得定点；复杂函数可用洛必达法则或阶数比较判断趋势

③

看极值（最关键） — 含 ln x 极值点与 e 有关；含 eˣ 极值点与 1 有关

💡 函数有 ln x 时，极值点常落在 x = 1/e 或 x = e 处。

2三步画图法 · 实例拆解

例 1｜y = x · ln x

定义域：x > 0
特殊值：x = 1 时 y = 0，点 (1,0) 固定
趋势与极值：x→0⁺ 时 y→0；x→+∞ 时 y→+∞
极值点：x = 1/e，y = -1/e

x→0⁺ 时，x 与 ln x 的"对抗"中，x 的趋零速度更快，整体→0

例 2｜y = x · eˣ

定义域：x ∈ R
特殊值：x = 0 时 y = 0
趋势：x→-∞ 时 y→0⁻（一次函数影响不及指数函数）；x→+∞ 时 y→+∞
极值点：x = -1，y = -1/e

负无穷处指数主导，曲线从下方趋近 0

例 3｜y = ln x / x

定义域：x > 0
特殊值：x = 1 时 y = 0
趋势：x→0⁺ 时 y→-∞；x→+∞ 时 y→0⁺（ln x 增长慢于 x）
最大值：x = e 时，y_max = 1/e

3常见函数图像补充

对勾函数

y = x + 1/x（又称双勾函数，是特殊双曲线）

辅助圆

sin θ、cos θ 在单位圆中直观理解

tan θ 几何

将线延长与切线相交，切线长度即为 tan θ

两个重要相切

与 eˣ 相切

切线过原点，斜率 e → y = ex

与 ln x 相切

切线 y = (1/e)·x

4由相切推得的不等式

eˣ ≥ ex

当且仅当 x = 1 时取等

ln x ≤ x / e

当且仅当 x = e 时取等

这两个不等式在导数大题中可作为"既得结论"直接使用

5分式函数画图技巧

y = (x+5) / (x+3)

1 变形：y = 1 + 2/(x+3)

2 先画 y = 2/x 的图像

3 向左平移 3 个单位

4 再向上平移 1 个单位 → 完成

6对称中心速查

对于 y = (ax+b)/(cx+d)
对称中心横坐标：分母为零的 x 值，即 x = -d/c
纵坐标：分子分母同次系数比，即 y = a/c

记忆口诀：记住 x，y 代入算
如果 c 为 0 或特殊情形，直接令分母=0求 x，再代入原式求 y

例：y = (x+5)/(x+3)，对称中心为 (-3, 1)

7函数交点 · 易错警示

eˣ 与 xᵃ 的交点讨论

⚠️ 易错点

当 0 < a < 1 时：
画图直觉上只有 1 个交点，但计算机模拟显示实际存在 3 个交点！
遇到此类问题务必谨慎，不可只凭草图判断。

关键参考值

e^(1/e) > 1

用来判断交点位置的分界点

0 < (1/e)^e < 1

与另一个关键值区分开

这两个值一个大于1、一个在0~1之间，可用于定位交点的分布

❝

先看定义域，再找特殊值，
定极值走势，图像自在心中。

—— 六个基础图像，稳拿导数题

基础函数图像导数题提速必备

基础函数图像
导数题提速必备