平面向量基础全攻略

📌 核心概念：什么是向量

物理中的矢量，在数学里叫向量——既有大小又有方向的量。

两个关键词：

大小 → 向量的长度（模长）
方向 → 箭头指向哪里

                    💡 类比 位移是典型的向量：既知道走了多远（大小），也知道往哪儿走（方向）。
                

✏️ 向量的三种表示法

几何表示：画带箭头的线段
代数表示①：AB→（起点A → 终点B）
代数表示②：小写字母加箭头，如 a→、b→

⚠️ 书写注意

手写必须加箭头，不能用加粗代替！印刷体才用加粗表示向量，如 a。

‼️ 千万别写反

AB→ 和 BA→ 方向完全相反，是两个不同的向量！起点在前、终点在后。

📏 模长 & 特殊向量

向量的大小叫模长，用 |AB→| 表示。

✅ 示例直角三角形直角边为3和4 → 斜边（模长）= 5。|AB|=5

单位向量

模长 = 1
记作 e→
方向不唯一，有无数个

零向量

模长 = 0
记作 0→
方向任意，不是没有方向

|a→| = 1 → 单位向量 |0→| = 0

🔍 辨析：相等向量

大小相等 ≠ 向量相等！

两个向量相等必须同时满足：

大小相同（模长相等）
方向相同

                    🚀 重要性质 向量可以随意平移！平移前后大小方向不变，还是同一个向量。
                

✅ 例正六边形中心O，OA→ = DO→（大小、方向都一样）

🔗 辨析：平行 = 共线

平行向量包含两种情况：

方向相同
方向相反

在向量中，平行向量 = 共线向量，完全等价。

                    🧠 记忆 向量可以平移，所以即使不在同一直线上，平移到同一条直线后就是共线。
                

此外规定：零向量与任意向量平行。

⚠️ 四大易错点

❌ 易错1：单位向量都相等？

错！单位向量模长都是1，但方向可不同，不完全相等。

❌ 易错2：零向量没有方向？

错！零向量方向是任意的，规定如此。

❌ 易错3：坐标轴X轴Y轴是向量？

错！坐标轴无限长，没有确定的大小（模长），不是向量。

❌ 易错4：a∥b且b∥c 推出 a∥c？

错！如果b是零向量，任何向量都与它平行，但a和c不一定平行。

➕ 向量运算大全

✚ 加法

平行四边形法则（两向量共起点）→ 对角线
三角形法则（两向量首尾相接）→ 起点连终点

1

共起点 → 做平行四边形，对角线即和

2

首尾相接 → 直接起点连终点

AB→ + BC→ = AC→

➖ 减法

先理解相反向量：大小相同、方向相反。−AB→ = BA→

OA→ − OB→ = BA→

两个向量必须共起点
结果连接两个终点，指向第一个向量（被减数）

🎯 口诀共起点、连终点、指向被减数（写在前面那个）

✖ 数乘

λa→ 是把 a→ 伸缩 |λ| 倍：

λ > 0 → 同向伸缩
λ < 0 → 反向伸缩
λ = 0 → 零向量（注意不是数零！）

2a→ = 拉长2倍 −½a→ = 反向缩短一半

🛠️ 运算技巧

不一定共起点/首尾相接？ → 平移凑形！
多向量首尾相接：AB+BC+CD = AD（中间点全消）
混合运算：先观察局部（两两相加），再整体处理

📝 例：正六边形 ABCD

FA→ + FB→ + BD→
先算 FB+BD = FD，再 FA+FD = FC（共起点用平行四边形）

                    ✅ 突破点 遇到不规则的向量，先平移成好算的位置，再套法则。
                

🧠 经典例题点睛

📐 正六边形 · 向量相等

OA→ = DO→（同一方向、同一长度）。
用「大小+方向」逐一比对，即可排除错误选项。

⭐ 正五角星 · 黄金分割

边长比 pt/at = (√5−1)/2
可推出 at = ((√5+1)/2)·ts
且 cos36° = (√5+1)/4 ≈ 0.809

                    💬 启示 向量题不一定是纯计算，常考「平移 + 法则」的灵活组合。
                

🎯 最后的总结

“向量是活的，可以平移；
平行就是共线，共线就是平行。”

向量 = 大小 + 方向（缺一不可）
相等向量 = 大小相等 + 方向相同
零向量 方向任意，与所有向量平行
加法：共起点做平行四边形，首尾相接直接连
减法：共起点连终点，指向第一个
数乘：伸缩 |λ| 倍，负号表示反向

💪 恭喜你，平面向量基础已通关！

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