数列求和·核心方法精讲

高中数学 · 数列专题

数列求和核心方法精讲

错位相减 · 裂项相消 · 分组求和
三大核心方法，覆盖高考常考题型，附易错点与经典例题。

错位相减裂项相消分组求和易错避坑

≡方法总览

错位相减

等差×等比型数列的前n项和

裂项相消

分母为两项乘积的分式数列

分组求和

通项可拆分为多部分分别求和

1错位相减法

适用条件

数列通项为 等差 × 等比，形如：

aₙ = (kn + b) · qⁿ

例：(2n+1)·5ⁿ、(2n+1)·(½)ⁿ

解题步骤（六步法）

写出 Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ
两边同时 乘以公比 q
错位一位排列，使指数对齐
用 Sₙ 减 qSₙ（或反之）
中间项构成等比数列，套用求和公式
化简整理，除以 (1-q) 得到 Sₙ

易错点

最后一项忘记乘 q
相减时，最后一项符号变反
等比求和的项数写错（5²到5ⁿ是 n-1 项）
算完忘记除以 (1-q)

验证技巧

S₁ = A₁ 快速检验。
算出Sₙ后，把 n=1 代入验证是否等于首项a₁。若相等，则大概率结果正确（再可验证 S₂）。

2裂项相消法

核心思想

把分式拆成 两项之差，求和时中间项一正一负相互抵消，只留首尾。

判断标准：分母的两部分是否为同一数列的相邻两项。

常见裂项公式（6个）

① 1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)

② 1/[n(n+2)] = ½ · [1/n − 1/(n+2)]

③ 1/[(2n−1)(2n+1)] = ½·[1/(2n−1) − 1/(2n+1)

④ 2ⁿ/[(2ⁿ−1)(2ⁿ⁺¹−1)] = 1/(2ⁿ−1) − 1/(2ⁿ⁺¹−1)

⑤ 分子含指数型：将指数也纳入裂项结构，配系数使前后两项形式一致

⑥ 1/(√(n+k)+√n) = (1/k)·(√(n+k) − √n)

配对规律

"前面留正，后面留负"——这是核心规律。

前面留下几个正数项，后面必然留下几个负数项
正负成对出现，数量一定匹配
例如前面留了正1和正½，后面必留两个负数项

注意：裂完项后要验证是否与原式相等，必要时乘系数（如½、-2等）。

3分组求和法

适用与操作

当通项公式由多个不同部分拼接而成，且各部分可以分别求和时使用。

将通项拆成多个子数列
分别对每个子数列求和
最后将结果相加合并

本质是利用了加法交换律：先分组、再求和。

★典型例题

2017 山东高考

错位相减 · 等比×等差

已知等比数列{aₙ}各项为正，求得aₙ=2ⁿ；再构造新数列(2n+1)/2ⁿ，求前n项和。

方法：此数列为(2n+1)·(½)ⁿ，等差×等比，用错位相减法，算完用S₁=A₁=3/2验证。

2022 高考

裂项相消 · 证明不等式

证明：1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/[n(n+1)] < 1

思路：裂项得1−1/2+1/2−1/3+…+1/n−1/(n+1) = 1 − 1/(n+1) < 1

2024 广东模拟

裂项相消 · 含指数分子

已知 cₙ = 2ⁿ/[n(n+1)]，求前n项和。

关键：将分子指数也纳入裂项结构，使前后两项形式一致，列项后相消，首项为½，末项为分数递减。

2023 常州学业

裂项 + 降次

数列 cₙ = n²/[(2n−1)(2n+1)]，分子分母同次，需先降次再裂项。

技巧：把分子凑成分母的倍数 + 常数，拆成常数项 + 裂项结构，分别求和。

⚠易错点 TOP 5

错位相减最后一项漏乘公比q
裂项后忘记配系数（如½）
等比求和项数判断错（n vs n−1）
分子次数≥分母时未先降次
算完不验证——没用S₁=A₁检验

✎金句摘录

"错位相减的目的，是让中间项变成你会求的等比数列。"

"列项不是目的，相消才是。"

——中间项一正一负全部抵消，只留首尾

"前面留正，后面必留负。成对出现，就不会算错。"

✓行动建议

每种方法练2-3道高考真题，形成肌肉记忆
算完用 S₁ = A₁ 验证，2秒检测正确率
6个裂项公式抄在笔记本上，考前快速过一遍
错位相减过程中，每一步都要写出来，过程分也是分
遇到分子次数高的题，先降次再裂项

总结

错位相减 → 等差×等比，六步走：乘q、错位、相减、等比公式、化简、除(1−q)。
裂项相消 → 分母两项乘积，判断同一数列相邻项，大胆列、配系数、看配对。
分组求和 → 拆开用加法交换律，分别求和再合并。

                核心能力：识别通项特征 → 选对方法 → 规范计算 → 验证结果。
            