数学竞赛笔记 · 分段估计与经典公式

数学竞赛 · 非数学类

不止题海，更是思维打磨

一节课理清「分段估计」核心母题线索

从为什么人人卷数学竞赛
到无铺垫高难特征的拆解
再到极限题中的分段估计与Wallis公式、Sterling公式的串联

✧ 本讲导读

非数学类竞赛之所以难，并不仅仅因为题目深，而是它常去掉考研题中逐问铺垫，直指最后一步。这一讲以“极限题没有求积套路，就要见题见法”为核心，串讲一种赛题高频技能——分段估计/分段拟合。

1 为什么要参加数学竞赛

提升数学思维——不只为算出洛必达、泰勒，更要懂思想内涵。
底层支撑专业——无论工科、金融、计算机还是爆火的AI，本质都在用统计与数学。
升学综测加分——保研、评奖、复试履历中都是含金量的证明。
反向托高考研数学——能拿省赛好成绩，考数学会更从容。

2 数学竞赛的鲜明特点

难在有差别 —— 竞赛和考研有明显差异：考研有铺垫环环给台阶；竞赛则常常直接拿出一整道题的“第三问”。

因此出现两个极端：会者不难，不会则难拿步骤分。想到前几步就能做出来；没有思路，可能直接零分。

“ 既然数学竞赛往往直接问最难的那一步——那平时的输入方式就要改变：多积累理论、经典结论与二级技巧。

3 竞赛备考用书推荐

📘

陈启浩

考研难题与数学竞赛兼顾；适合竞赛入门的同学。

📕

陈兆斗

省赛冲省一必刷之书；涵盖各种技巧、题型补充全面，几乎每道题都有详细解析。

📙

蒲和平

偏难、题量大，部分题只有提示；可参考网数学大佬手写答案。

💡 若三选一 → 推荐 陈兆斗。
如果目标是省二/省三，先刷张宇考研强化体系（1000题、闭关修炼系列）也可以，刷完拿省二省三大概率够用。

4 核武器：分段估计

这一技巧在竞赛中极其重要，考研可以不用，但竞赛要有。

核心思路：当积分或数列在“端部”性质不同时，在中间取一个合适断点（例如挖掉端点邻域），分成两段，各用不同性质进行放缩。

第一段 · 利用 n 次方衰减第二段 · 利用区间长度任意小

5 母题精讲：一场分段估计示范

题目目标

证明 ∫₀^{π/2} (sin x)ⁿ dx → 0。

关键处理：

取 δ = ε/2，将积分拆成两段：

∫₀^{π/2} sinⁿx dx = ∫₀^{π/2−δ} + ∫_{π/2−δ}^{π/2}

前段：因为上限已达 π/2−δ，sin x 的最大值小于 1 的常数，其 n 次方趋于 0。
后段：虽然 sin x 不趋于0，但积分区间长度只有 δ，而 δ 可取得任意小，于是整个小段将被压到 ε/2 以下。

两段各自小于 ε/2，加总后满足 ε-N 定义，极限为 0。整个过程就是把「难点」在端点处挖掉小块，再分别制服——这就是分段估计的味道。

6 从母题长出三朵花

① 经典双阶乘结论

(2n−1)!! / (2n)!! → 0 （奇偶双阶乘之比）

可通过上面的积分结果直接得到，也可用放缩与夹逼证明。

② 强化收敛速率

√n · (2n−1)!! / (2n)!! → 1/√π

即它近似按 1/√n 速度趋于零。

③ Wallis（瓦里斯）公式

((2n)!!)² / [(2n−1)!! (2n+1)!!] → π/2

能看出奇偶双阶乘与 π 的频率，可用来做很多极限白给题。

技巧示范 · 典型题

某个 n 项乘积取对数后化简为：
ln(分母/分子) → 极限为 ln(2/π)，本质上就是 Wallis 公式的变体。

7 斯特林公式（Sterling）

n! ~ √(2πn) · (n/e)ⁿ

常用于阶乘型极限的等价无穷大量代换。要注意：乘除因式中可作等价替换，加减需谨慎。

带余项版本：

n! = √(2πn) (n/e)ⁿ · e^{θ(n)/(12n)} , |θ(n)|<1

带上余项即可保证“等式地位”，什么时候都能代入。

证明思路（不依赖高数外知识）

设 aₙ = n! · eⁿ / (√n · nⁿ)，先构造比例 bₙ = aₙ/aₙ₋₁。
把 aₙ 写成 a₁·b₂·b₃…bₙ，化数列为无穷乘积。
再用两次泰勒展开估计 bₙ ≈ 1 − 1/(12n²) + o(1/n²)。
取对数化乘积为级数，由比较判别法说明收敛，也推出极限非零。
再借助偶数项 a₂ₙ 与 aₙ² / a₂ₙ，结合前面的 Wallis 结论，求出极限为 √(2π)，即得到斯特林公式。

8 决赛真题体验

一题几乎白给，答案都对得上的决赛计算题

lim_n→∞ [(n+1)!]^{1/(n+1)} / (n!)^{1/n}

快速用斯特林公式猜出答案：1/e （即 e⁻¹）。

赛中许多人从不纠结严谨过程也能算对，这就是斯特林公式的价值：先稳住答案，再补严格推导。

9 收尾题：另一经典分段估计

命题：若 aₙ → a，则前 n 项算术平均

(a₁+a₂+…+aₙ) / n → a

从给定 ε 出发，取大 N₁ 使后半部分每一项距 a 小于 ε/2；再因为前 N₁ 项是有限项，整体除以 n 后趋于 0；于是令 n 大于 max(N₁,N₂)，前后两段各自小于 ε/2，收束完成。

这与最初的“挖小邻域”如出一辙：把有限项与无限项拆开，对前段用“固定除以无穷大”，对后段用“极限压缩”。

10 答疑与行动建议

只想拿省三：刷考研强化讲义即可，不必一开始硬啃竞赛书。
想冲省一：用心刷陈兆斗老师那本，再学更高阶视角。
暑假开始晚吗？竞赛一般10月底 / 11月初，7月开始一点都不早。
直播尽量跟：有疑当场互动交流，比自己看录播更有效。

“ 竞赛常常不给铺垫，只留一个需要“临门一脚”的关键点。
而当下的备考，就是在积累中让自己一眼看到那个入口。
愿每一份刷题和笔记，都成为考场上的从容。