平面向量与正余弦定理 · 期末冲刺笔记

期末冲刺 · 必看

平面向量 + 正余弦定理

30分钟掌握所有公式与结论

📐 向量 📐 解三角形 ⏱ 零基础友好

六大板块速览

① 向量基础概念 ② 线性运算 ③ 数量积与夹角 ④ 基本定理与坐标 ⑤ 高频结论 ⑥ 正余弦定理

1 向量基础概念概念篇

向量定义

向量 = 大小 + 方向，大小称为「模」

表示方法：有向线段或字母加箭头（a→、AB→）

常用向量类型

单位向量：模长为1，a→ / |a→| 得到
零向量：长度为0，与任意向量平行
平行/共线向量：方向相同或相反（可任意平移）
相等向量：大小与方向完全一致
相反向量：大小相同、方向相反

2 线性运算加减 · 数乘 · 共线

加法

平行四边形法则共起点，对角线为和

三角形法则首尾相接，起点→终点

减法

两向量共起点，后指向前（被减数终点→减数终点）

OB→ − OA→ = AB→

数乘 λa→

λ > 0：与 a→ 同向；λ < 0：反向
|λ| > 1：拉长；|λ| < 1：缩短

共线定理

a→ ∥ b→（b→≠0）⟺ a→ = λb→（λ为实数）

三点共线定理

A、B、C共线，O为任意一点：

OC→ = λOA→ + μOB→，且 λ+μ=1

爪型定理（分点公式）

D在AB上，AD:DB = m:n：

OD→ = n/(m+n)·OA→ + m/(m+n)·OB→

例：AD:DB=3:2 → OD=(2/5)OA+(3/5)OB

常用结论

P为AB中点：OP→=(OA→+OB→)/2
多个向量围成封闭图形，其和 = 零向量

3 数量积与夹角核心难点

夹角

范围：0° ~ 180°，必须共起点计算

易错：等边三角形中，AB→ 与 BC→ 的夹角是 120°，不是 60°！因为向量需平移后共起点。

投影向量

A→ 在 B→ 上的投影向量：

(A→·B→ / |B→|²) · B→

投影长度 = |A→|·cosθ = (A→·B→) / |B→|

数量积定义

A→·B→ = |A→| · |B→| · cosθ

几何意义：A 在 B 上投影的长度 × B 的模

4种计算方法

定义法：知道模长与夹角
基底转换法：转化为已知模长夹角的基底
坐标法：横乘横 + 纵乘纵
极化恒等式：转化为线段平方差

常用结论

|A→| = √(A→·A→)
A→ ⊥ B→ ⟺ A→·B→ = 0
cosθ = A→·B→ / (|A→|·|B→|)
求模：先平方再开根号

4 基本定理与坐标坐标运算

基本定理

两个不共线向量可以作为基底，唯一表示平面内任意向量。

坐标运算

运算	公式
加减	(x1±x2, y1±y2)
数乘	(λx, λy)
数量积	x1x2 + y1y2
平行	x1y2 = x2y1
垂直	x1x2 + y1y2 = 0
模长	√(x² + y²)
夹角	(x1x2+y1y2)/(\|A\|\|B\|)

5 高频结论冲刺提分

重心结论

O 为重心（中线交点）：

OA→ + OB→ + OC→ = 0

极化恒等式

A→·B→ = [(A→+B→)/2]² − [(A→−B→)/2]²

C为AB中点时：

OA→·OB→ = |OC→|² − |AC→|²

最值问题利器

奔驰定理

若 m·PA→ + n·PB→ + l·PC→ = 0：

m : n : l = S△PBC : S△PCA : S△PAB

等和线

P' 在 AB 上，OP→ = m·OP'→，则：

OP→ = x·OA→ + y·OB→ 中，x+y = m

6 正余弦定理解三角形

正弦定理

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

R 为外接圆半径。变形：

边化角：a = 2R·sinA

角化边：sinA = a/2R

(a+b)/(sinA+sinB) = 2R

余弦定理

a² = b² + c² − 2bc·cosA

cosA = (b²+c²−a²) / (2bc)

面积公式

S = ½ab·sinC = ½ac·sinB = ½bc·sinA

拓展：S = abc/(4R)，S = (a+b+c)·r/2

判断三角形个数（A为锐角）

条件	个数
a < b·sinA	0个
a = b·sinA	1个
b·sinA < a < b	2个
a ≥ b	1个

判断三角形形状

a² > b²+c² → 钝角三角
a² = b²+c² → 直角三角
a² < b²+c² → 仅说明 A 为锐角，不一定是锐角三角！需三内角均锐角

锐角三角形需三个内角全为锐角，不能由一个角判断。

边角齐次式

边和角次数相同可互化，常用于大题化简。

例：sinA·cosA = sinB·cosB → 等腰或直角三角形

射影定理

a = c·cosB + b·cosC

中线长定理

P为BC中点：

2AP² + 2BP² = AB² + AC²

角平分线

用面积法列方程求解：S△ABC = S△ABP + S△APC

关键恒等式

sinA = sin(B+C)

cosA = −cos(B+C)

🔥 期末核心建议

① 向量先看方向再看大小，加减法画图最直观；
② 数量积先看能否用投影，有时不用算夹角；
③ 共线定理与三点共线，系数和为1是高频考点；
④ 正余弦定理边角互化要熟练，面积公式优选正弦形式；
⑤ 判断三角形形状，注意锐角≠三角形锐角。

CuteNote.app 颜值笔记生成