函数单调性 & 奇偶性

函数单调性 & 奇偶性 · 全面总结

高中数学 · 函数专题

单调性 & 奇偶性
全面总结笔记

从基础到进阶 · 一次搞懂函数性质的所有考法

导读

本笔记围绕函数的两大核心性质——单调性和奇偶性，系统梳理：

单调性

X增大→Y增大为增
X增大→Y减小为减

奇偶性

偶函数：关于Y轴对称
奇函数：关于原点对称

从基础题型 → 进阶对称性 → 综合解不等式，层层递进。

一、单调性的定义

单调递增：随着X增大，函数值不断增大。

单调递减：随着X增大，函数值越来越小（X越大Y越小）。

增函数：X₁ > X₂ ⇔ F(X₁) > F(X₂)

减函数：X₁ > X₂ ⇔ F(X₁) < F(X₂)

单调性有三种常见表达：定义式、两式相乘>0、两式相除>0，本质等价。

二、单调性的判断方法

方法一：利用图像判断

适用：一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数等熟悉函数。画图直接观察增减趋势。
* 对勾函数很重要，建议补学。

方法二：复合函数判断

由内往外逐层分析。根号不改变单调性，倒数、取相反数会改变单调性。
注意：先看定义域！

方法三：定义法

设X₁、X₂ → 作差F(X₁)-F(X₂) → 因式分解 → 判断正负。
所有定义法题目几乎都能因式分解。

判断单调性前务必先确认定义域范围，这是最常见的陷阱。

三、奇偶性基础

偶函数

F(-X) = F(X)
图像关于Y轴对称

奇函数

F(-X) = -F(X)
图像关于原点对称

奇函数：括号内符号可随意拿出来/放进去

判断奇偶性第一步：先看定义域是否关于原点对称！若不对称，直接非奇非偶。

四、奇偶性判断题型

1. 具体函数判断奇偶性

先看定义域 → 算F(-X) → 比较与F(X)的关系。

2. 抽象函数判断奇偶性

设整体为H(X) → 算H(-X) → 比较关系。利用已知奇偶性化简。

3. 已知奇偶性求参数

方法一：定义式，但计算量大
方法二：带特殊值（如F(0)=0）
注意：多个解必须检验

五、对称性进阶（奇偶性的延伸）

轴对称表达式

F(a-x) = F(a+x) → 对称轴 x = a

一般形式：F(a-x) = F(b+x) → 对称轴 x = (a+b)/2

中心对称表达式

F(a-x) + F(a+x) = 2b → 对称中心 (a, b)

一般形式：F(a-x)+F(b+x) = c → 对称中心 ((a+b)/2, c/2)

识别诀窍：2个F，括号内一正一负X → 对称性。
F=F → 纵坐标相等 → 轴对称；F+F=定值 → 纵坐标和定值 → 中心对称。

六、单调性 + 奇偶性综合解不等式

类型一：已知单调性，解不等式

直接"脱衣服"：增函数不变号，减函数变号。
前提：函数必须在整个定义域上单调。

类型二：奇函数 + 单调性

利用奇函数性质：①F(0)=0 ②负号可内移或外提。
先去负号 → 再脱衣服 → 注意变号。

类型三：偶函数 + 单调性

不能直接脱衣服（因为整体不单调）。
比较到原点距离：|X₁| 与 |X₂| 的大小，再用平方去绝对值。

脱衣服的条件：必须在定义域上单调。偶函数可借助绝对值转化为距离比较。

七、核心公式速记

奇偶性判断：

偶函数：F(-X) = F(X)，对称轴为Y轴
奇函数：F(-X) = -F(X)，对称中心为原点
奇函数若在0处有定义，则F(0)=0

对称性判断：

F(a-x) = F(a+x) → 对称轴 x=a
F(a-x) + F(a+x) = 2b → 对称中心 (a,b)

抽象函数对称中心求法：

横坐标：两个括号内常数相加÷2
纵坐标：两个函数值相加÷2

八、解题方法论总结

判断单调性：先看定义域 → 熟悉函数画图，复合函数逐层分析，证明用定义法因式分解
判断奇偶性：先看定义域对称 → 算F(-X)比较
解抽象不等式：脱衣服（单调）/ 距离比较（偶函数）/ 负号处理（奇函数）
求参数：多解必须检验，避免陷阱

"出题人不会直接告诉你答案，先把条件翻译成看得懂的能画图的形式。"

由 CuteNote.app 颜值笔记生成

函数单调性 &amp; 奇偶性 · 全面总结

函数单调性 & 奇偶性 · 全面总结