绝对值与零点综合 · 数形结合笔记

导读

            绝对值让函数图像“拐弯”，零点问题让参数“现身”。突破的关键是：先观察、再变形、后画图——用图像说话，是解决这类问题最直观的路径。
        

数形结合两板斧

方法一

分类讨论，去绝对值

绝对值本质是“分段”——x正负、y正负逐一讨论，就能脱去绝对值外衣。

讨论后，椭圆退化为第一象限一段弧
椭圆变双曲线，只保留对应象限的部分
若两负数相加不可能等于正数，则此情形舍去

口诀：先讨论，再画图，舍掉不可能的。

方法二

条件翻译，识别几何意义

题目中的代数式往往对应几何对象：

x₁x₂ + y₁y₂ → 向量点乘，夹角定值
|ax + by + c| / √(a²+b²) → 点到直线的距离
x² + y² = 1 → 单位圆上的点
夹角60°、半径相等 → 等边三角形

经典例题精讲

例题一

方程画图题 · 数形结合入门

方程含绝对值中含 x、y，讨论四种象限组合，画出图像。结论：图像过第一、二、四象限，不经过第三象限；从左到右单调递增，值域为全体实数；双曲线渐近线处无交点，对应方程无实数解。

答案：ACD（选正确的）

例题二

2018 上海高考 · 条件翻译

单位圆上两点 A、B 满足 x₁x₂ + y₁y₂ = 1/2，求带根号式子的最大值。

翻译条件：

点 A、B 在单位圆上，向量的夹角为 60°
OA = OB → 三角形 OAB 为等边三角形
式子拆为点 A、B 到直线 x + y − 1 = 0 的距离之和
中点 S 到直线距离的 2 倍 → 转化为圆上点到直线距离

关键步骤：

取 AB 中点 S，动点归为一
S 的轨迹是半径为 √3/2 的圆
“一箭穿心”找圆心到直线距离，再加上半径

最大值 = √3 + √2

例题三

2018 天津高考 · 恒成立问题

分段函数在 [-3, +∞) 上恒小于等于 |x|，求参数 a 的范围。

处理思路：拆分为两个恒成立问题，以 x = 0 为分界。每段去绝对值后分离参数，转化为二次函数最值问题。

                    第一段：a ≤ −x² − 3x + 2 恒成立，取最小值 2

                    第二段：2a ≥ −x² + x 恒成立，取最大值 1/4

                    a ≥ 1/8

a ∈ [1/8, 2]

例题四

2022 天津高考 · 取小函数零点

f(x) 取两个函数中较小的一个，要求图像恰有 3 个零点，求 a 的范围。

核心思路：

二次函数必须至少有两个根 → Δ ≥ 0，即 a ≤ 2 或 a ≥ 10
分 Δ = 0 和 Δ > 0 两种情况讨论
Δ = 0 时，验 a = 2（不符合）和 a = 10（符合）
Δ > 0 时，根的四种分布逐一画图判断

临界情形：两根都在 2 右侧时，由根的分布条件推出 a > 10。

a ≥ 10

例题五

2014 天津高考 · 恰有 4 个零点

分段函数减去 ax 恰有 4 个零点，求 a 的取值范围。

方法一：直接画图——找直线 y = ax 与分段函数图像的 4 个交点，得到临界斜率。

方法二：分离参数——

                    两边除以 |x|，得 a = f(x)/|x|，画出等号右侧的分段函数图像，让 y = a 的水平直线与其有 4 个交点，得到 a ∈ (1, 2)。
                

a ∈ (1, 2)

例题六

2020 天津高考 · 三次函数零点

已知分段函数（含三次函数和绝对值函数）恰有 4 个零点，求参数 k 的范围。

变形要点：

两边同除 x，但必须分 x = 0 单独讨论
x = 0 是天然零点，剩下还需 3 个解
x > 0：右侧为 x²（空心点）
x < 0：右侧为常数 1（空心点）

画图可知：k < 0 恒成立；k = 0 不符合；k > 0 时需满足直线与抛物线有两个交点 → Δ > 0。

k ∈ (−∞, 0) ∪ (2√2, +∞)

例题七 · 压轴

综合变形 · 换元 + 平方 + 分类讨论

含绝对值和根号的方程恰有一个零点，求 a 的范围。

方法一：常规换元 + 分类讨论

第一步：换元令 t = ax，参数集中
第二步：平方去根号，但注意等价条件
由于左边 ≥ 0，推出 |t − 2| ≥ 1，得到 t 范围
再令 m = 1/t，画二次函数图像求交点

方法二（更巧）：不分离参数，直接看成两个函数图像求交点。令 M = 4/a²，左边画出折线，右边为二次函数，讨论开口方向临界情形即可。

a ∈ (−√3, −1) ∪ (1, √3)

核心方法论

📐 数形结合三步骤

观察——有没有重复出现的结构？绝对值里有什么？
变形——能不能分离参数？能不能换元？注意讨论 x = 0。
画图——把一类含参曲线变成“动直线”，找临界点。

去绝对值：讨论正负分离参数：除 x 时单独讨论 0 换元：重复出现必换元平方：注意等价条件画图：动直线+水平线截交点

“题目给你一个没有图的式子，你就给它画出图来。
哪里是临界的交点，哪里就是参数的边境。”

行动建议

01 每做完一道绝对值零点题，画一遍“参变分离”后的分段函数图像，把临界值写出来，反复对照答案。

02 “平方”“乘除 x”这类变形，先问自己：会不会改变解的个数？单独列一行讨论 x = 0 的情况。

03 把上海 18 年、天津 14/18/20/22 年这五道真题反复做 3 遍，直到可以不看图直接说出完整分类。

04 最后一道压轴题建议画在笔记本上，作为“换元 + 等价条件 + 检验相切真实性”的完整案例。

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