多元复合函数与隐函数求偏导·速成笔记

高数下 · 速成系列

多元复合函数
隐函数求偏导

20分钟掌握核心解题原则 · 数有万千而道不变

CORE PRINCIPLE

链式法则 · 三步走

遇到抽象多元复合函数 F(u,v)，不用背套路，画图找链即可。

1 画层次图：从外到内连接每条依赖关系，有几个中间变量就画几个分支。

2 找链子：要求谁对谁的偏导，就把所有能连通的路径找全。

3 逐层求导：每条链子各段导数相乘，再把所有链子相加。

∂z/∂x = F₁′·∂u/∂x + F₂′·∂v/∂x

其中 F₁′ 表示对第一中间变量求偏导，F₂′ 对第二中间变量求偏导，与 F 的复合结构完全一致。

EXAMPLE 1

基础题型：双中间变量

设 z = F(u,v)，u、v 均含 x、y。

求 ∂z/∂x：

∂z/∂x = F₁′·(2x) + F₂′·(e^xy·y)

求 ∂z/∂y：

∂z/∂y = F₁′·(-2y) + F₂′·(e^xy·x)

👉 直接用F₁′、F₂′记号，分步写清，这才是满分样式

NOTATION

官方记号：F₁′ / F₂′

为了不审美疲劳，把中间变量编号：

u = 第一中间变量
v = 第二中间变量

F₁′ = F对第一中间变量求偏导

F₂′ = F对第二中间变量求偏导

本质：F₁′ 和 F₂′ 与 F 有完全相同的复合结构。后续求二阶导时也要当成复合函数处理。

EXAMPLE 2

进阶题型：三个中间变量

设 u = F(s,t,w)，其中：

第一中间变量 s 只含 x → s = x
第二中间变量 t 含 x、y → t = xy
第三中间变量 w 含 x、y、z → w = xyz

求 ∂u/∂x

∂u/∂x = F₁′·1 + F₂′·y + F₃′·yz

求 ∂u/∂y

∂u/∂y = F₂′·x + F₃′·xz

求 ∂u/∂z

∂u/∂z = F₃′·xy

诀窍：看哪些中间变量含你要求的自变量，直接写对应项，画图反而费时。

EXAMPLE 3

变形：一元求导（参数式）

设 z = F(x,y)，而 x = sin t，y = t³。

此时 z 最终是 t 的一元函数，仍用链式法则：

dz/dt = F₁′·cos t + F₂′·3t²

本质上还是一样的套路：链子找到 t，逐层求导相加。

EXAMPLE 4

变形：外层一元壳

设 z = φ(y/x)，外层是一元函数，内层含 x、y。

求 ∂z/∂x

∂z/∂x = φ′·(-y/x²)

求 ∂z/∂y

∂z/∂y = φ′·(1/x)

先对外壳求导，再把内层乘上。与一元复合求导完全一致。

EXAMPLE 5

二阶偏导 · 直接法

求二阶混合偏导时，先判断求导顺序。若 F 二阶连续，则 ∂²z/∂x∂y = ∂²z/∂y∂x（与次序无关）。

所以先把对 y 的一阶偏导求好，再对 x 求偏导，更省力。

F₁′、F₂′ 也要看复合结构
∂(F₁′)/∂x = F₁₁″·∂u/∂x + F₁₂″·∂v/∂x

关键：F₁′ 与 F 有相同复合结构，所以对它求导时链子重新画一遍，原理不变。

合并技巧：二阶混合偏导 F₁₂″ = F₂₁″（与次序无关），可合并系数，简化答案。

IMPLICIT FUNCTION

隐函数求偏导 · 一阶

方程 G(x,y,z)=0 确定了 z 是 x、y 的函数。三种方法：

方法	操作
① 直接法	两边同时对 x 求偏导，z 视为 x,y 的函数，解出 ∂z/∂x
② 公式法	令 F(x,y,z)=0，∂z/∂x = -Fₓ/F_z
③ 全微分	两边取全微分，整理出 dz（突击可跳过）

公式法要点

大F是三元函数，x、y、z彼此独立。求 F_x 时 y、z 当常数；求 F_z 时 x、y 当常数。

F(x,y,z) = z + e^z - xy = 0
∂z/∂x = -F_x/F_z = -(-y)/(1+e^z) = y/(1+e^z)

因为右边没有 z 的显式表达，结果带 z 完全正常。

IMPLICIT · 2ND

隐函数二阶偏导

二阶偏导只能用直接法：在一阶偏导结果上继续求导，全程把 z 看作 x,y 的函数。

∂z/∂x = y/(1+e^z)
∂²z/∂x² = 对上面结果再对x偏导
= -y·e^z·(∂z/∂x)/(1+e^z)²

最后把一阶结果代回，答案中不能留偏导记号。

BOSS

综合：隐函数 + 复合

方程：Φ(u,v) = 0，其中 u = x + y + z 等复合结构。

首推公式法，把隐函数公式摆出来，再认真处理复合链子。

∂z/∂x = -Φ_z / Φ_x

求 Φ_z 时用链式法则，把 Φ₁′、Φ₂′ 的链子画出来；求 Φ_x 时类似的套路。

操作心法

先定身份：是隐函数 → 先写公式；是复合函数 → 再画链子
一次只做好一件事，不要混在一起

SYSTEM

方程组求偏导 · 克莱姆法则

遇到方程组，先数一遍：方程数 = 因变量数，其余为自变量。

例如两个方程、四个变量 → 2个因变量 + 2个自变量。

操作步骤

两个方程两端同时对要求的自变量求偏导
整理成关于偏导数的线性方程组
用克莱姆法则解

系数行列式
| a₁ b₁ |
| a₂ b₂ | = a₁b₂ - b₁a₂

求某偏导：把该列系数替换为右侧常数，再算行列式。

例：求 u_x，就把第一列换成右端常数，再除以分母行列式。

📍 最后总结

链式法则就是画图找链，逐层求导相加。
F₁′、F₂′ 和 F 具有相同复合结构，求导时嵌套处理。
隐函数公式法：∂z/∂x = -F_x/F_z，大F三变量独立。
二阶偏导用直接法，注意顺序无关可合并。
方程组用克莱姆法则，算得又快又准。
思路清晰的关键：一次只做好一件事。

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多元复合函数隐函数求偏导

链式法则 · 三步走

基础题型：双中间变量

官方记号：F₁′ / F₂′

进阶题型：三个中间变量

求 ∂u/∂x

求 ∂u/∂y

求 ∂u/∂z

变形：一元求导（参数式）

变形：外层一元壳

求 ∂z/∂x

求 ∂z/∂y

二阶偏导 · 直接法

隐函数求偏导 · 一阶

公式法要点

隐函数二阶偏导

综合：隐函数 + 复合

操作心法

方程组求偏导 · 克莱姆法则

操作步骤

📍 最后总结

多元复合函数
隐函数求偏导